примеры разных видов производных

Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e и применим свойство логарифма:

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.

При доказательстве формулы для любого действительного p воспользуемся (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с , а также разобраться с разделами теории и .

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле :

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3,

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p любое действительное число.

Производная степенной функции.

производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x (на всей области определения)

В первом случае мы имеем производную натурального числа 3, во втором случае нам приходится брать производную от параметра а, который может быть любым действительным числом, в третьем - производную иррационального числа , в четвертом случае имеем производную нуля (ноль является целым числом), в пятом производную рациональной дроби .

Найти производные следующих постоянных функций

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения.

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не является , так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из функции в точке. Возьмем , где x любое действительное число, то есть, x любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Производная постоянной.

Навигация по странице.

Рекомендуем все время держать таблицу производных перед глазами при изучении этого раздела. Давайте рассмотрим вывод формул этой таблицы. Другими словами, докажем формулы производных для каждого вида функций.

Таблица производных. Доказательство формул.

Таблица производных.